獨(dú)立試驗(yàn)序列概型1-5
§5 獨(dú)立試驗(yàn)序列概型 在相同的條件下，將同一個(gè)試驗(yàn)重復(fù)做n次，且這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，每次試驗(yàn)的 結(jié)果為有限個(gè)，這樣的n次試驗(yàn)稱作n次獨(dú)立試驗(yàn)概型． 特別是，每次試驗(yàn)的結(jié)果只有兩種可能時(shí)，這樣的n次獨(dú)立試驗(yàn)慨型稱作n重貝努利概 型． (下賭注問題) 17世紀(jì)末，法國的Chevalike Demere注意到在賭博中一骰子拋25次，把賭注押到“至少出現(xiàn)一次雙六”比把賭注押到 “完全不出現(xiàn)雙六”有利，但他本人說不出原因．后來請(qǐng)當(dāng)時(shí)著名的法國數(shù)學(xué)家Pasca1 才解決了這一問題．這問題應(yīng)如何解決呢? 分析： 一對(duì)骰子拋25次，就是說，兩顆同樣的骰子同時(shí)拋擲，共拋25次． 要搞清“至少出現(xiàn)一次雙六”比押到“完全不出現(xiàn)雙六”有利這句話是什么意思? 首先 記 [pic]＝ “至少出現(xiàn)一次雙六”，　它的意思是指拋25次中至少出現(xiàn)一次數(shù)對(duì)(6，6)，即25次中 出現(xiàn)一次(6，6)，或出現(xiàn)二次(6，6)，…，甚至25次中全是出現(xiàn)(6，6)． 而完全不出現(xiàn)雙六是指拋25次中出現(xiàn)的數(shù)對(duì)完全沒有(6，6)，它事件[pic]是的對(duì)立事 件[pic]． ∴　[pic]＝“完全不出現(xiàn)雙六” 因而把賭注押到“至少出現(xiàn)一次雙六”比押到“完全不出現(xiàn)雙六”有利的意思即為 [pic]， 因?yàn)椋?[pic] 故只要證明 [pic]　 　即可了． 解：　一對(duì)骰子拋1次有下面的36種情況： 　　　　　[pic] 因此一對(duì)骰子拋一次出現(xiàn)一對(duì)6點(diǎn)的概率為1／36． 設(shè)　[pic]＝“第[pic]次拋擲時(shí)這對(duì)骰子出現(xiàn)一對(duì)6點(diǎn)”，由于各次拋擲是獨(dú)立的，則有 一對(duì)骰子拋一次，可視為1次隨機(jī)試驗(yàn)；一對(duì)骰子拋25次可視為25次獨(dú)立隨機(jī)試驗(yàn)；于 是對(duì)所提的問題，可視為25重的貝努里概型，從而要證明的不等式轉(zhuǎn)為 [pic] 注意： 不過，值得考慮一下的是為什么正好拋25次呢?拋的次數(shù)少了或多了會(huì)怎樣呢?這只要 在上面的不等式中把25換成n，看會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果．即決定n使　　　　　　　　　　 　 [pic] 故拋25次是起碼的要求，少于25次不行．當(dāng)然拋的次數(shù)超過25次越多越利，且 　　　　　　[pic] 一． 定理 （ 獨(dú)立試驗(yàn)序列概型計(jì)算公式），設(shè)單次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為[pic]，則在 n次重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生[pic]次的概率為 [pic]， 其中 [pic] 1. 袋中裝有100個(gè)小球，60個(gè)紅的，40個(gè)綠的．作放回抽樣，連續(xù)取5次，每次 取1 個(gè)，求： 1)恰好取到3個(gè)紅球， 2個(gè)綠球的概率； 2)紅球的個(gè)數(shù)不大于3個(gè)的概率． [pic] 【例2】 電燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率為0.2，求三個(gè)燈泡在1000時(shí)以后最多 有一個(gè)壞了的概率． 解: 設(shè)事件A表示電燈泡使用時(shí)效在1000小時(shí)以上，則p＝o．2， q＝o．8．考察三個(gè)燈泡，可以看做三次獨(dú)立試驗(yàn)．三個(gè)燈泡使用1000小時(shí)以后最多只 有一個(gè)壞了這一 事件也就是三個(gè)燈泡個(gè)至少有二個(gè)燈泡的使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上。所以它的概率為 [pic] 【例3】 甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃命中率分別為o．7及o．6，每人投籃三次，求 (1)二人進(jìn)球數(shù)相等的慨率； (2)中比乙進(jìn)球數(shù)多的概率． 解 ： 設(shè)[pic]”運(yùn)動(dòng)員甲在三次投籃中投進(jìn)個(gè)[pic]球” ([pic]=0．1、2、3)，則我們有 [pic] 設(shè)[pic]”運(yùn)動(dòng)員甲在三次投籃中投進(jìn)個(gè)[pic]球” ([pic]=0．1、2、3)，則我們有 [pic] [pic] 二．第一近似公式（泊松定理）：設(shè)在獨(dú)立試驗(yàn)序列中事件A的概率為[pic]，則在n次 試驗(yàn)中事件A恰發(fā)生[pic]次的溉率[pic]， 當(dāng)[pic]時(shí)，有 [pic] ， 其中 [pic] 三．習(xí)題： P。39 ----- 1，3，4
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