第三章 多維隨機(jī)變量及其分布
第三章 多維隨機(jī)變量及其分布 隨機(jī)向量的定義： 隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S={(}，若隨機(jī)變量X1((),X2((),…,Xn(()定義在S上，則 稱（X1((),X2((),…,Xn(()）為n維隨機(jī)變量（向量）。簡記為（X1,X2,…,Xn）。 二維隨機(jī)向量（X,Y），它可看作平面上的隨機(jī)點(diǎn)。 對（X,Y）研究的問題： 1．（X,Y）視為平面上的隨機(jī)點(diǎn)。研究其概率分布——聯(lián)合分布率、聯(lián)合分布函數(shù) 、聯(lián)合概率密度；Joint 2．分別研究各個(gè)分量X,Y的概率分布——邊緣（際）分布律、邊緣分布函數(shù)、邊緣 概率密度； marginal 3．X與Y的相互關(guān)系； 4．（X,Y）函數(shù)的分布。 § 3.1 二維隨機(jī)變量的分布 一．離散型隨機(jī)變量 1．聯(lián)合分布律 定義3.1 若二維隨機(jī)變量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多個(gè)或可列無窮多個(gè),則稱(X,Y) 為二維離散型隨機(jī)變量。 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)可能取的值(xi,yj), i，j=1,2…,取這些值的概率為 pij=P{(X,Y)=(xi,yi)}=p{X=xi,Y=yi}i,j=1,2,… ——(3.1) 稱 (3.1)式為(X,Y)的聯(lián)合分布律。 (X,Y)的聯(lián)合分布律可以用表格的形式表示如下： | Y |y1 y2 … yj … |X的邊緣分布率 | |X | | | |X1 |p11 p12 p1j … |P1(. | |X2 |p21 p22 p2j … |P2( | |( | ( ( ( |( | |xi |pi1 pi2 pij … |Pi( | |( |( ( ( |( | |Y的邊緣分布率 |P(1 p(2 ( p(j … |1 | 性質(zhì)： (1) pij ( 0，i, j=1,2,… (2) [pic]=1 2．邊緣分布律 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y) 的聯(lián)合分布律為 pij= P{X=xi,Y=yi} i, j=1,2,… 分量X和Y的分布律分別為 pi.=P{X=xi} i=1,2,… 滿足①pi.(0②( pi.=1 p.j= p{Y=yi}j=1,2,… ①p.j(0②( p.j=1 我們稱pi.和p.j分別為(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布律，簡稱為(X,Y)的邊緣分布律。 二維離散型隨機(jī)變量(X,Y) 的聯(lián)合分布律與邊緣分布率有如下關(guān)系： pi.=P{X=xi}=P{X=xi, S}=P{X=xi,[pic][pic](Y=yj)} =[pic]P{X=xi,Y=yj}=[pic]pij (3.4) 同理可得 p.j =[pic]pij (3.5) 例1:一整數(shù)X隨機(jī)地在1，2，3三個(gè)整數(shù)中任取一值，另一個(gè)整數(shù)Y隨機(jī)地在1到X中取一值 。試求（X,Y）的聯(lián)合分布率及邊緣分布率。 解： [pic] | Y |1 |2 |3 |X的邊緣分布率 | | |X | | | | | | |1 |1/3 |0 |0 |1/3 |p1( | |2 |1/6 |1/6 |0 |1/3 |p2( | |3 |1/9 |1/9 | 1/9 |1/3 |p3( | |Y的邊緣分布率 |11/18 |5/18 |1/9 |1 | | | |P(1 |p(2 |p(3 | | 二．聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù) 1．定義3.2 設(shè)（X,Y)是二維隨機(jī)變量，對任意的實(shí)數(shù)x,y令 F(x,y)=P{X(x,Y(y} (3.7) 則稱 F(x,y)為（X,Y）的聯(lián)合分布函數(shù)。 [pic] 2．F(x,y)的性質(zhì)： 性質(zhì)1 對于x和y,F(x,y)都是單調(diào)不減函數(shù)，即若x1
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