第十一章 期權(quán)定價(jià)模型
第十一章 期權(quán)定價(jià)模型 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 本章是期權(quán)部分的重點(diǎn)內(nèi)容之一。本章主要介紹了著名的Black- Scholes期權(quán)定價(jià)模型和由J. Cox、S. Ross和M. Rubinstein三人提出的二叉樹(shù)模型，并對(duì)其經(jīng)濟(jì)理解和應(yīng)用進(jìn)行了進(jìn)一步的講解。學(xué)習(xí) 完本章，讀者應(yīng)能掌握Black- Scholes期權(quán)定價(jià)公式及其基本運(yùn)用，掌握運(yùn)用二叉樹(shù)模型為期權(quán)進(jìn)行定價(jià)的基本方法。 自從期權(quán)交易產(chǎn)生以來(lái)，尤其是股票期權(quán)交易產(chǎn)生以來(lái)，學(xué)者們即一直致力于對(duì)期權(quán)定 價(jià)問(wèn)題的探討。1973年，美國(guó)芝加哥大學(xué)教授 Fischer Black和Myron Scholes發(fā)表《期權(quán)定價(jià)與公司負(fù)債》[1]一文，提出了著名的Black- Scholes期權(quán)定價(jià)模型，在學(xué)術(shù)界和實(shí)務(wù)界引起強(qiáng)烈的反響，Scholes并由此獲得1997年 的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。在他們之后，其他各種期權(quán)定價(jià)模型也紛紛被提出，其中最著名的 是1979年由J. Cox、S. Ross和M. Rubinstein三人提出的二叉樹(shù)模型。在本章中，我們將介紹以上這兩個(gè)期權(quán)定價(jià)模型， 并對(duì)其進(jìn)行相應(yīng)的分析和探討[2]。 第一節(jié) Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型 一、Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的假設(shè)條件 Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的七個(gè)假設(shè)條件如下： 1. 期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)為一風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（Black- Scholes期權(quán)定價(jià)模型中為股票），當(dāng)前時(shí)刻市場(chǎng)價(jià)格為S。S遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)[3]，即 [pic] 其中，[pic]為股票價(jià)格瞬時(shí)變化值，[pic]為極短瞬間的時(shí)間變化值，[pic]為均值 為零，方差為[pic]的無(wú)窮小的隨機(jī)變化值（[pic]，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，[pic]代表從標(biāo) 準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1.0的正態(tài)分布）中取的一個(gè)隨機(jī)值），[pic]為股票 價(jià)格在單位時(shí)間內(nèi)的期望收益率（以連續(xù)復(fù)利表示），[pic]則是股票價(jià)格的波動(dòng)率，即 證券收益率在單位時(shí)間內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)差。[pic]和[pic]都是已知的。 簡(jiǎn)單地分析幾何布朗運(yùn)動(dòng)，意味著股票價(jià)格在短時(shí)期內(nèi)的變動(dòng)（即收益）來(lái)源于兩個(gè) 方面：一是單位時(shí)間內(nèi)已知的一個(gè)收益率變化[pic]，被稱(chēng)為漂移率，可以被看成一個(gè)總 體的變化趨勢(shì)；二是隨機(jī)波動(dòng)項(xiàng)，即[pic]，可以看作隨機(jī)波動(dòng)使得股票價(jià)格變動(dòng)偏離總 體趨勢(shì)的部分。 2．在期權(quán)有效期內(nèi)，標(biāo)的資產(chǎn)沒(méi)有現(xiàn)金收益支付。綜合1和2，意味著標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格 的變動(dòng)是連續(xù)而均勻的，不存在突然的跳躍。 3. 沒(méi)有交易費(fèi)用和稅收，不考慮保證金問(wèn)題，即不存在影響收益的任何外部因素。綜合2和 3，意味著投資者的收益僅來(lái)源于價(jià)格的變動(dòng)，而沒(méi)有其他影響因素。 4. 該標(biāo)的資產(chǎn)可以被自由地買(mǎi)賣(mài)，即允許賣(mài)空，且所有證券都是完全可分的。 5. 在期權(quán)有效期內(nèi)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率[pic]為常數(shù)，投資者可以此利率無(wú)限制地進(jìn)行借貸。 6．期權(quán)為歐式看漲期權(quán)，其執(zhí)行價(jià)格為[pic]，當(dāng)前時(shí)刻為[pic]，到期時(shí)刻為[pic] 。 7．不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。 二、Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型 （一）Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式 在上述假設(shè)條件的基礎(chǔ)上，Black和Scholes得到了如下適用于無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期 權(quán)的一個(gè)微分方程： [pic] （11.1） 其中f為期權(quán)價(jià)格，其他參數(shù)符號(hào)的意義同前。 通過(guò)解這個(gè)微分方程，Black和Scholes得到了如下適用于無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的 定價(jià)公式： [pic] （11.2） 其中， [pic] c為無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價(jià)格；N（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計(jì)概率分布函數(shù) （即這個(gè)變量小于x的概率），根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)特性，我們有[pic]。 （二）Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式的理解 1.期權(quán)價(jià)格的影響因素 首先，讓我們將Black- Scholes期權(quán)定價(jià)公式與第十章中分析的期權(quán)價(jià)格的影響因素聯(lián)系起來(lái)。在第十章中，我 們已經(jīng)得知期權(quán)價(jià)格的影響因素包括：標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格、執(zhí)行價(jià)格、波動(dòng)率、無(wú)風(fēng)險(xiǎn) 利率、到期時(shí)間和現(xiàn)金收益。在式（11.2）中，除了由于我們假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)無(wú)現(xiàn)金收益 之外，其他幾個(gè)參數(shù)都包括在內(nèi)，且影響方向與前文分析的一致。 2.風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理 其次我們要談到一個(gè)對(duì)于衍生產(chǎn)品定價(jià)非常重要的原理：風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。觀察式 （11.2），以及第十章中的期權(quán)價(jià)格影響因素分析，我們可以注意到期權(quán)價(jià)格是與標(biāo)的 資產(chǎn)的預(yù)期收益率無(wú)關(guān)的。即在第一節(jié)我們描述標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格所遵循的幾何布朗運(yùn)動(dòng)時(shí) 曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)的預(yù)期收益率[pic]在期權(quán)定價(jià)公式中消失了。這對(duì)于尋求期權(quán)定價(jià)的人們來(lái) 說(shuō)無(wú)疑是一個(gè)很大的好消息。因?yàn)槠駷橹梗藗內(nèi)匀粵](méi)有找到計(jì)算證券預(yù)期收益率的 確定方法。期權(quán)價(jià)格與[pic]的無(wú)關(guān)性，顯然大大降低了期權(quán)定價(jià)的難度和不確定性。 進(jìn)一步考慮，受制于主觀風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率[pic]并未包括在期權(quán) 的價(jià)值決定公式中，公式中出現(xiàn)的變量為標(biāo)的證券當(dāng)前市價(jià)（S）、執(zhí)行價(jià)格（X）、時(shí) 間（t）、證券價(jià)格的波動(dòng)率（[pic]）和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率[pic]，它們?nèi)际强陀^變量，獨(dú)立 于主觀變量——風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。既然主觀風(fēng)險(xiǎn)偏好對(duì)期權(quán)價(jià)格沒(méi)有影響，這使得我們可以 利用Black- Scholes期權(quán)定價(jià)模型所揭示的期權(quán)價(jià)格的這一特性，作出一個(gè)可以大大簡(jiǎn)化我們工作的 簡(jiǎn)單假設(shè)： 在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。 在所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下（有時(shí)我們稱(chēng)之為進(jìn)入了一個(gè)“風(fēng)險(xiǎn)中性世界”） ，所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，這是因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)中性的投資者并不需要 額外的收益來(lái)吸引他們承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)。同樣，在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，所有現(xiàn)金流量都可以通過(guò) 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。 應(yīng)該注意的是，風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是一個(gè)人為假定，但通過(guò)這種假定所獲得的結(jié)論不 僅適用于投資者風(fēng)險(xiǎn)中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的所有情況。 為了更好地理解風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，我們可以舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明。 假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么 是11元，要么是9元?，F(xiàn)在我們要找出一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為10.5元的該股票歐式看漲 期權(quán)的價(jià)值。 由于歐式期權(quán)不會(huì)提前執(zhí)行，其價(jià)值取決于3個(gè)月后股票的市價(jià)。若3個(gè)月后該股票價(jià) 格等于11元，則該期權(quán)價(jià)值為0.5元；若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于9元，則該期權(quán)價(jià)值為0 。 為了找出該期權(quán)的價(jià)值，我們可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和[pic]單位的標(biāo)的 股票多頭組成的組合。若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于11元時(shí)，該組合價(jià)值等于（11[pic]－ 0.5）元；若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于9元時(shí)，該組合價(jià)值等于9[pic]元。為了使該組合價(jià) 值處于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)，我們應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)腫pic]值，使3個(gè)月后該組合的價(jià)值不變，這意味 著： 11[pic]－0.5=9[pic] [pic]=0.25 因此，一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和0.25股標(biāo)的股票。無(wú)論3個(gè)月后股 票價(jià)格等于11元還是9元，該組合價(jià)值都將等于2.25元。 在沒(méi)有套利機(jī)會(huì)情況下，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合只能獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。假設(shè)現(xiàn)在的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率 等于10%，則該組合的現(xiàn)值應(yīng)為： [pic] 由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場(chǎng)為10元， 因此： [pic] 這就是說(shuō)，該看漲期權(quán)的價(jià)值應(yīng)為0.31元，否則就會(huì)存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。 從該例子可以看出，在確定期權(quán)價(jià)值時(shí)，我們并不需要知道股票價(jià)格上漲到11元的概 率和下降到9元的概率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。事實(shí)上，只要股票的 預(yù)期收益率給定，股票上升和下降的概率也就確定了。例如，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，無(wú)風(fēng) 險(xiǎn)利率為10%，則股票上升的概率P可以通過(guò)下式來(lái)求： [pic] P=62.66%。 又如，如果在現(xiàn)實(shí)世界中股票的預(yù)期收益率為15%，則股票的上升概率可以通過(guò)下式 來(lái)求： [pic] P=69.11%。 可見(jiàn)，投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度決定了股票的預(yù)期收益率，而股票的預(yù)期收益率決定了股 票升跌的概率。然而，無(wú)論投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度如何，從而無(wú)論該股票上升或下降的概 率如何，該期權(quán)的價(jià)值都等于0.31元。 3. 對(duì)期權(quán)定價(jià)公式的經(jīng)濟(jì)理解。 首先，從Black- Scholes期權(quán)定價(jià)模型自身的求解過(guò)程來(lái)看[4]，N(d2)實(shí)際上是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中ST大于 X的概率，或者說(shuō)是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率，因此，e-r(T- t)XN(d2)是X的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值，更樸素地說(shuō)，可以看成期權(quán)可能帶來(lái)的收入現(xiàn)值 。SN(d1)= e-r(T- t)ST N(d1)是ST的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值，可以看成期權(quán)持有者將來(lái)可能支付的價(jià)格的 現(xiàn)值。因此整個(gè)歐式看漲期權(quán)公式就可以被看作期權(quán)未來(lái)期望回報(bào)的現(xiàn)值。 其次，[pic]，顯然反映了標(biāo)的資產(chǎn)變動(dòng)一個(gè)很小的單位時(shí)，期權(quán)價(jià)格的變化量；或 者說(shuō)，如果要避免標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化給期權(quán)價(jià)格帶來(lái)的影響，一個(gè)單位的看漲期權(quán)多頭 ，就需要[pic]單位的標(biāo)的資產(chǎn)空頭加以保值。事實(shí)上，我們?cè)诘谑轮袑⒖吹剑琜pic] 是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量，SN（d1)就是股票的市值, -e-r(T- t)XN(d2)則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價(jià)值。 最后，從金融工程的角度來(lái)看，歐式看漲期權(quán)可以分拆成資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)（As set-or-noting call option）多頭和現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)（cash-or-nothing option）空頭，SN(d1)是資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)的價(jià)值，-e-r(T- t)XN(d2)是X份現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)空頭的價(jià)值。這是因?yàn)?，?duì)于一個(gè)資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看 漲期權(quán)來(lái)說(shuō)，如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在到期時(shí)低于執(zhí)行價(jià)格，該期權(quán)沒(méi)有價(jià)值；如果高于執(zhí) 行價(jià)格，則該期權(quán)支付一個(gè)等于資產(chǎn)價(jià)格本身的金額，根據(jù)前文對(duì)N(d2)和SN(d1)的分析 ，可以得出該期權(quán)的價(jià)值為e-r(T-t)STN(d1)= SN(d1)的結(jié)論；同樣，對(duì)于（標(biāo)準(zhǔn)）現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)，如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在到期 時(shí)低于執(zhí)行價(jià)格，該期權(quán)沒(méi)有價(jià)值；如果高于執(zhí)行價(jià)格，則該期權(quán)支付1元， 由于期權(quán)到期時(shí)價(jià)格超過(guò)執(zhí)行價(jià)格的概率為N(d2)，則1份現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)的現(xiàn)值 為-e-r(T-t) N(d2)。 （三）Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式的拓展 1.無(wú)收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式 Black- Scholes期權(quán)定價(jià)模型給出的是無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式，根據(jù)歐式看漲期權(quán) 和看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系，可以得到無(wú)收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式： [pic] （11.3） 2. 無(wú)收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價(jià)公式 在標(biāo)的資產(chǎn)無(wú)收益情況下，由于C=c，因此式（11.2）也給出了無(wú)收益資產(chǎn)美式看漲 期權(quán)的價(jià)值。 由于美式看跌期權(quán)與看漲期權(quán)之間不存在嚴(yán)密的平價(jià)關(guān)系，因此美式看跌期權(quán)的定價(jià) 還沒(méi)有得到一個(gè)精確的解析公式，但可以用數(shù)值方法以及解析近似方法求出。 3. 有收益資產(chǎn)期權(quán)的定價(jià)公式 到現(xiàn)在為止，我們一直假設(shè)期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)沒(méi)有現(xiàn)金收益。那么，對(duì)于有收益資產(chǎn)， 其期權(quán)定價(jià)公式是什么呢？實(shí)際上，如果收益可以準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)到，或者說(shuō)是已知的，那 么有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)定價(jià)并不復(fù)雜。 在收益已知情況下，我們可以把標(biāo)的證券價(jià)格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金 收益的現(xiàn)值部分和一個(gè)有風(fēng)險(xiǎn)部分。當(dāng)期權(quán)到期時(shí)，這部分現(xiàn)值將由于標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn) 金收益而消失。因此，我們只要用S表示有風(fēng)險(xiǎn)部分的證券價(jià)格。[pic]表示風(fēng)險(xiǎn)部分遵 循隨機(jī)過(guò)程的波動(dòng)率[5]，就可直接套用公式（11.2）和（11.3）分別計(jì)算出有收益資產(chǎn) 的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)值。 當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為I時(shí)，我們只要用（S－I）代替式（11.2）和（11.3） 中的S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。 當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的固定收益率q（單位為年）時(shí)，我們只要將[pic] 代替式（11.2）和（11.3）中的S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的歐式看漲和看跌期 權(quán)的價(jià)格。在各種期權(quán)中，股票指數(shù)期權(quán)、外匯期權(quán)和期貨期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)可以看作支 付連續(xù)紅利率，因而它們適用于這一定價(jià)公式。具體的內(nèi)容，我們將在第十三章深入闡 述。 另外，對(duì)于有收益資產(chǎn)的美式期權(quán)，由于有提前執(zhí)行的可能，我們無(wú)法得到精確的解 析解，仍然需要用數(shù)值方法以及解析近似方法求出。 三、Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式的計(jì)算 1. Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的參數(shù) 我們已經(jīng)知道，Black- Scholes期權(quán)定價(jià)模型中的期權(quán)價(jià)格取決于下列五個(gè)參數(shù)：標(biāo)的資產(chǎn)市場(chǎng)價(jià)格、執(zhí)行價(jià)格 、到期期限、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率（即標(biāo)的資產(chǎn)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差）。在這 些參數(shù)當(dāng)中，前三個(gè)都是很容易獲得的確定數(shù)值。但是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng) 率則需要通過(guò)一定的計(jì)算求得估計(jì)值。 1. 估計(jì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 在發(fā)達(dá)的金融市場(chǎng)上，很容易獲得對(duì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的估計(jì)值。但是在實(shí)際應(yīng)用的時(shí)候仍 然需要注意幾個(gè)問(wèn)題。首先，我們需要選擇正確的利率。一般來(lái)說(shuō)，在美國(guó)人們大多選 擇美國(guó)國(guó)庫(kù)券利率作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的估計(jì)值...
第十一章 期權(quán)定價(jià)模型