第十三章 股票指數(shù)期權(quán)、外匯期權(quán)和期貨期權(quán)
第十三章 股票指數(shù)期權(quán)、外匯期權(quán)和期貨期權(quán) 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】本章的主要學(xué)習(xí)目標(biāo)是掌握股票指數(shù)期權(quán)、外匯期權(quán)和期貨期權(quán)的定價 原理。我們把這三種期權(quán)放在一起討論是因為它們的定價原理相同，三種期權(quán)的標(biāo)的資 產(chǎn)都可以看成是支付連續(xù)紅利的資產(chǎn)。對股票指數(shù)而言，它的紅利是指數(shù)所含股票的紅 利總和，對外匯而言，可以把外匯的利率看成紅利，而對期貨而言，可以將融資成本和 標(biāo)的資產(chǎn)的儲存成本看成紅利。 我們還要深入理解各種期權(quán)定價模型在本章中的運用。因為股票指數(shù)期權(quán)、外匯期權(quán) 和期貨期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)都可以看成是支付連續(xù)紅利的資產(chǎn)，因此可以用默頓（Merton） 模型直接為這三種資產(chǎn)的歐式期權(quán)定價。同樣，二叉樹模型也可以直接應(yīng)用，二叉樹模 型還可以直接用來為美式期權(quán)定價。 第一節(jié) 歐式股票指數(shù)期權(quán)、外匯期權(quán)和期貨期權(quán)的定價 默頓（Merton）模型是B-S（Black- Scholes）模型的擴(kuò)展，可以用來為支付連續(xù)復(fù)利紅利的資產(chǎn)的歐式期權(quán)定價。 一、默頓模型 默頓模型通過將股票所支付的連續(xù)復(fù)利的紅利看成負(fù)的利率來擴(kuò)展B- S模型。在前面的章節(jié)里，我們證明了紅利的支付會降低看漲期權(quán)的價值，因為紅利會降 低期權(quán)標(biāo)的股票的價值。實際上，連續(xù)紅利支付意味著股票價值的連續(xù)漏損，令[pic]表 示漏損率，它等于紅利的支付率。因此，我們只要將[pic]代替式（11.2）和（11.3）中 的S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。根據(jù)默頓模型，標(biāo) 的股票支付連續(xù)紅利的歐式看漲期權(quán)的價值為 [pic] 由于 [pic] 因此，[pic]、[pic]分別為： [pic] （13.1） 從中可以看出，默頓模型將標(biāo)準(zhǔn)的B-S模型中的[pic]換成了 [pic] （13.2） 依據(jù)默頓模型得出的歐式看跌期權(quán)價值為 [pic] （13.3） 當(dāng)[pic]＝0時，默頓模型就轉(zhuǎn)化為B-S模型。 二、股票指數(shù)期權(quán) 默頓模型也可以用來給股票指數(shù)期權(quán)定價。股票指數(shù)綜合反映了一系列股票的表現(xiàn)， 我們可以將股票指數(shù)看成是一個股票組合，每期都可能有一部分股票支付紅利。因為我 們是給以一個組合為標(biāo)的的期權(quán)定價，所以我們關(guān)心的只是組合的紅利支付，幾乎所有 的股票都只是按期支付離散的紅利，不過股票指數(shù)中包含了眾多的股票，因此假設(shè)股票 指數(shù)支付連續(xù)紅利是比較接近現(xiàn)實的，而且指數(shù)所含股票越多，這個假設(shè)就越合理。 為了解釋默頓模型在股票指數(shù)期權(quán)定價上的運用，我們用一個例子來進(jìn)行說明。 例13.1 假設(shè)現(xiàn)在有一價值為350.00的股票指數(shù)，指數(shù)收益的標(biāo)準(zhǔn)差是0.2，無風(fēng)險利率是8％， 指數(shù)的連續(xù)紅利支付率是4％。該指數(shù)的有效期為150天的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的執(zhí) 行價格為340.00，那么，[pic]＝4％，[pic]350.00。 [pic] 從而 [pic] 因此，期權(quán)價值為 [pic] 三、外匯期權(quán) 我們現(xiàn)在考察默頓模型在外匯期權(quán)定價中的運用，我們站在美國期權(quán)交易者的角度來 看這個問題，此時外匯匯率（直接標(biāo)價）成了[pic]，外匯的利息可以看成紅利，公式中 的標(biāo)準(zhǔn)差是標(biāo)的資產(chǎn)價格即外匯匯率的標(biāo)準(zhǔn)差。 例13.2 考慮一個英鎊的歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)。英鎊目前的匯率是$1.40，標(biāo)準(zhǔn)差是0.5 ，英國目前的無風(fēng)險利率為12％，而美國的是8％，看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的執(zhí)行價價格都 為$1.50，有效期都是200天。 根據(jù)默頓模型，可以計算得到看漲期權(quán)價值為$0.1452，看跌期權(quán)價值為$0.2700。 四、期貨期權(quán) 假設(shè)有一種類似黃金的資產(chǎn)，這種資產(chǎn)的存貨相對于消費很大，而且容易保存，該資 產(chǎn)生產(chǎn)的季節(jié)性不明顯，消費的季節(jié)性也不明顯，而且這種資產(chǎn)可以賣空。當(dāng)這些條件 都滿足時，以該資產(chǎn)為標(biāo)的的期貨的理論價格為 [pic] （13.4） 如果這個等式不成立，就會有無風(fēng)險的套利機(jī)會存在。一般而言，所有的貴金屬（金 、銀和鉑等）和所有的金融工具（股票和債券等）都滿足這個關(guān)系。 從默頓模型的角度來看，資產(chǎn)即期價格的增長率r，取代了[pic],期貨價格取代了（ 13.1）中的股票價格。也就是說，對于可以納入持有成本模型的資產(chǎn)，它的期權(quán)定價可 以將默頓模型中的[pic]用r來取代進(jìn)行，即令[pic]＝r即可，這樣處理使得期貨期權(quán)的 定價十分簡單。因此，歐式期貨看漲期權(quán)和歐式期貨看跌期權(quán)的價值分別為 [pic] [pic] 其中， [pic] （13.5） 式（13.5）中的標(biāo)準(zhǔn)差是指期貨價格的標(biāo)準(zhǔn)差。 例13.3 假設(shè)有一個有效期為一年的股票指數(shù)期貨的歐式期權(quán)，指數(shù)現(xiàn)在為480.00，無風(fēng)險利率 為7％，因此，根據(jù)持有成本模型，期貨價格應(yīng)該為： [pic] 設(shè)以該期貨為標(biāo)的的歐式期權(quán)的執(zhí)行價格為500.00，期貨價格的標(biāo)準(zhǔn)差為0.2，那么 [pic][pic] [pic] 因此，期權(quán)價格為 [pic] 五、期貨期權(quán)和現(xiàn)貨期權(quán) 有些資產(chǎn)，例如外匯，既有以它的現(xiàn)貨為標(biāo)的的期權(quán)交易，同時也有它的期貨為標(biāo)的 的期權(quán)交易，這兩種期權(quán)的區(qū)別關(guān)鍵取決于期權(quán)是歐式的還是美式的。 在期貨合約到期的時候，期貨價格必須與現(xiàn)貨價格相等，只有這樣市場上才不會存在 套利機(jī)會。例如，在黃金市場上，如果現(xiàn)貨價格為$400/盎司，而且期貨即將到期，那么 期貨價格的合約也必須為$400/盎司，否則就有套利機(jī)會，如果期貨價格超過了現(xiàn)貨價格 ，那么投資者在現(xiàn)貨市場買入，在期貨市場上交割就可以獲利；反過來，如果期貨價格 低于現(xiàn)貨價格，那么投資者只要買入期貨，等待交割，然后賣出現(xiàn)貨就可以獲利。總之 ，在期貨合約到期時期貨價格必須等于現(xiàn)貨價格，否則就會存在上述套利機(jī)會。 無套利條件對歐式期貨期權(quán)的定價意義重大，因為歐式期權(quán)只有在到期時才能交割， 所以交割時期貨價格和現(xiàn)貨價格一定相等。也就是說歐式期貨期權(quán)和現(xiàn)貨期權(quán)的損益是 相同的。因此，歐式期貨期權(quán)和歐式現(xiàn)貨期權(quán)的價格必須相等。（注意，這里歐式期貨 期權(quán)的到期日與其標(biāo)的期貨的到期日是相同的。） 美式期貨期權(quán)和美式現(xiàn)貨期權(quán)的關(guān)系比較復(fù)雜，因為美式期權(quán)可以在到期日之前的任 意時刻交割。美式期貨期權(quán)和美式現(xiàn)貨期權(quán)的關(guān)系取決于一定期限內(nèi)現(xiàn)貨價格和期貨價 格之間的關(guān)系。對于貴金屬和金融資產(chǎn)，到期之前的期貨價格幾乎都高于現(xiàn)貨價格；另 外一些市場上如銅、農(nóng)產(chǎn)品和能源市場上到期日之前的期貨價格一般是低于現(xiàn)貨價格的 。一個完整的解釋已超出本書的范圍，這里只能做個簡單的解釋：如果標(biāo)的資產(chǎn)的供給 相對于消費很大，標(biāo)的資產(chǎn)容易儲存和運輸，標(biāo)的資產(chǎn)的供給和需求不存在季節(jié)性波動 ，標(biāo)的資產(chǎn)賣空很容易，賣空成本很低，那么它的期貨價格在到期日之前一般高于現(xiàn)貨 價格，上述條件一般適用于貴金屬和金融資產(chǎn)；相對而言，工業(yè)用金屬、農(nóng)產(chǎn)品、能源 產(chǎn)品的供給和需求的季節(jié)性波動很明顯，現(xiàn)貨市場不發(fā)達(dá)，運輸成本和存儲成本很高， 這些因素使得期貨價格在到期日之前低于現(xiàn)貨價格。 期貨價格和現(xiàn)貨價格之間的關(guān)系決定了美式期貨期權(quán)和美式現(xiàn)貨期權(quán)的關(guān)系，如果期 貨價格高于現(xiàn)貨價格，那么美式期貨看漲期權(quán)的價格必須高于美式現(xiàn)貨看漲期權(quán)的價格 ，美式期貨看跌期權(quán)的價格必須低于美式現(xiàn)貨看跌期權(quán)的價格；反之如果期貨價格低于 現(xiàn)貨價格，那么美式期貨看漲期權(quán)的價格必須低于美式現(xiàn)貨看漲期權(quán)的價格，而美式期 貨看跌期權(quán)的價格必須高于美式現(xiàn)貨看跌期權(quán)的價格。 第二節(jié) 標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)紅利的期權(quán)價格的敏感性 期權(quán)價格的敏感性是指參數(shù)變動時期權(quán)價格的變動幅度，如第十二章所述，衡量期權(quán) 價格敏感性的指標(biāo)包括DELTA、GAMMA、THETA、VEGA和RHO。本節(jié)我們將考察股票指數(shù)期 權(quán)、外匯期權(quán)和期貨期權(quán)價格的敏感性，基本原則與第十二章是一樣的，但對敏感性的 定義需要稍做調(diào)整。表13-1和表13- 2給出了默頓模型中標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)紅利的看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的敏感性，它們的具體 運用條件是: 1.在股票指數(shù)期權(quán)的敏感性計算中，將[pic]看成是指數(shù)的價格，將[pic]看成指數(shù)的 連續(xù)紅利收益率，同時在計算[pic]和[pic]時做相應(yīng)的調(diào)整。 2.外匯期權(quán)：將[pic]看成外匯的價格（匯率），將[pic]看成外匯無風(fēng)險投資的連續(xù) 復(fù)利收益率，同時在計算[pic]和[pic]時做相應(yīng)的調(diào)整。 3.期貨期權(quán)：將[pic]看成是期貨合約的價格，將[pic]看成是無風(fēng)險利率，因此[pic] ，同時在計算[pic]和[pic]時做相應(yīng)的調(diào)整。 因為這些期權(quán)的敏感性計算很相似，我們只用一個英鎊期權(quán)的例子來解釋。 例13.4 英鎊現(xiàn)在的價格為$1.56,美國的無風(fēng)險利率為11％，英鎊匯率的標(biāo)準(zhǔn)差是0.25，期權(quán)有 效期為90天，期權(quán)執(zhí)行價格為$1.50，那么[pic]90天，[pic]。代入公式得歐式看漲期權(quán) 的價格為$0.1002，歐式看跌期權(quán)的價格為$0.0526，表13－3是這個期權(quán)價格的敏感性。 表13－1 默頓模型中看漲期權(quán)價格的敏感性 |名稱 |敏感性 | |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic][pic] | |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] | |其中： |[pic] | 表13－2 默頓模型中看跌期權(quán)價格的敏感性 |名稱 |敏感性 | |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] | |其中： |[pic] | 表13－3外匯期權(quán)價格的敏感性（默頓模型） | |看漲 |看跌 | |期權(quán)價格 |$0.1002 |$0.0526 | |[pic] |0.6082 |－0.3650 | |[pic] |－1.085 |－0.1578 | |[pic] |0.2859 |0.2859 | |[pic] |0.2093 |－0.1513 | |[pic] |1.9058 |1.9058 | 第三節(jié) 二叉樹定價模型 一、二叉樹模型回顧 在第十一章，我們已經(jīng)介紹了二叉樹模型定價的基本原理和方法?？偟膩砜矗鏄?模型定價就是通過構(gòu)造一個反映標(biāo)的資產(chǎn)價格運動和到期可能分布的樹形圖，估計到期 時的期權(quán)價值，然后以無風(fēng)險利率往回貼現(xiàn)，推出期權(quán)的當(dāng)前價格。二叉樹模型的一個 優(yōu)點在于它可以同時為歐式和美式期權(quán)定價，可以為沒有紅利和支付紅利的期權(quán)定價。 如果期權(quán)是美式期權(quán)，則其與歐式期權(quán)的一個比較大的區(qū)別是，在美式期權(quán)樹形圖上 的每個節(jié)點，期權(quán)價格是以下兩個值中較大的一個： 1. 期權(quán)下一期的價值按無風(fēng)險利率的貼現(xiàn)值； 1. 立即執(zhí)行期權(quán)得到的現(xiàn)金流，看漲期權(quán)是[pic],看跌期權(quán)是[pic]。 除此之外，在運用二叉樹模型給美式期權(quán)定價是和歐式期權(quán)定價完全一樣的。因此， 當(dāng)我們沿著樹形圖逆推期權(quán)價格時，首先將下一期的期權(quán)價格預(yù)期值貼現(xiàn)到當(dāng)期，然后 比較這個貼現(xiàn)值和立即執(zhí)行期權(quán)獲得的款項的大小，取其中較大的一個作為該節(jié)點的期 權(quán)價值即可。 如果標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)紅利，則需要對證券價格的增長率進(jìn)行調(diào)整，以反映紅利的影 響。具體的調(diào)整思想與默頓模型是一致的：將連續(xù)紅利看作標(biāo)的資產(chǎn)的負(fù)的利率。因此 ，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)收益率為[pic]的紅利時，在風(fēng)險中性條件下，證券價格的增長率 應(yīng)該為[pic]，相應(yīng)地式（11.5）就變?yōu)椋?[pic] 同時，式（11.8）變?yōu)椋?[pic] （11.12） 式（11.9）和（11.10）仍然適用。 因為歐式期權(quán)和美式期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)價格樹形圖是一樣的，因此上述參數(shù)可以用來同 時產(chǎn)生標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)紅利時歐式期權(quán)和美式期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)價格樹形圖。 除此之外，二叉樹模型也可以為支付已知紅利和已知紅利率資產(chǎn)的歐式期權(quán)和美式期 權(quán)定價，其具體方法可以參見第十一章第二節(jié)的相關(guān)內(nèi)容。 二、股票指數(shù)期權(quán)的二叉樹模型 股票指數(shù)的紅利支付可以看成是以連續(xù)方式支付的，也可以看作是以離散形式支付的 。連續(xù)紅利假設(shè)下的股票指數(shù)期權(quán)定價可以用公式（11.9）、（11.10）和（11.12）進(jìn) 行計算。延續(xù)第一...
第十三章 股票指數(shù)期權(quán)、外匯期權(quán)和期貨期權(quán)