概率統(tǒng)計(1-1)(a)
序言 2002.7.20 科學(xué)研究的對象是客觀現(xiàn)象的規(guī)律性。概率統(tǒng)計是研究客觀現(xiàn)象，只對現(xiàn)象的發(fā)生或不 發(fā)生感興趣，并不涉及現(xiàn)象的內(nèi)在性質(zhì)。人們在研究自然界和人類社會中各種事物運動 的變化規(guī)律時會發(fā)現(xiàn)兩類很不相同的現(xiàn)象。一類現(xiàn)象是在一定的條件之下，事物運動變 化的規(guī)律是確定的．一旦認(rèn)識了這些規(guī)律就可以事先作出正確的預(yù)言。例如太陽從東方 升，?。玻常剑担鹊龋?這一類現(xiàn)象我們稱之為確定性現(xiàn)象．早期的科學(xué)家就是研究這一類現(xiàn)象規(guī)律性，所用的 數(shù)學(xué)工具是幾何，代數(shù)，微積分等． 但是在自然界和人類社會中還廣泛地存在著與確定性現(xiàn)象有著本質(zhì)不問的另一類現(xiàn)象， 例如：（１）拋擲一枚硬幣事先并不能正確地預(yù)言結(jié)果是出現(xiàn)正面或反面； （２）打橋牌時事先無法預(yù)料是否能分到有四張A的， 這類現(xiàn)象共同特點是在基本條件不變的情況下作一系列試驗或觀察會得到各種不同的結(jié) 果．換句話說，僅僅就一次試驗或觀察而言它會時會出現(xiàn)這種結(jié)果，時而出現(xiàn)那種結(jié)果 ，呈現(xiàn)出一種偶然性，這種現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象． 概率統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。 概率統(tǒng)計具有嚴(yán)密、深刻的理論體系。然而，它又是一門應(yīng)用學(xué)科，在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、軍 事、醫(yī)學(xué)、公共事業(yè)及尖端科學(xué)等幾乎所有科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域獲得越來越重要的應(yīng)用．今天 ，概率論已成為有廣泛應(yīng)用的，有深刻理論基礎(chǔ)的，蓬勃發(fā)展的一個數(shù)學(xué)學(xué)科了． 具體地，概率論是研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律性，其主要內(nèi)容： 古典概型 獨立試驗序列概型 ( 十七世紀(jì) ) ( 十八世紀(jì) ) 極限定理 嚴(yán)格數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、深刻的 (十八、九世紀(jì)) 　 理論研究及實際的應(yīng)用 ( 二十世紀(jì) ) 數(shù)理統(tǒng)計學(xué)是關(guān)于數(shù)據(jù)資料的收集、整理、分析和推理的科學(xué)，側(cè)重與應(yīng)用研究隨機現(xiàn) 象的本身的規(guī)律性來考慮資料的收集、整理、分析，從而找出相應(yīng)隨機本來的分布律或 它的數(shù)字特征，盡可能作出較合理精確的推斷。它包括二大類內(nèi)容： （1）試驗的設(shè)計和研究：如何更合理更有效獲得觀察資料的方法； （2）統(tǒng)計推斷：如何利用一定的資料對所關(guān)心的問題盡可能作出合理可靠的結(jié)論。 本書前五章是概率論，后幾章是數(shù)理統(tǒng)計，兩者緊密聯(lián)系，概率論是數(shù)理統(tǒng)計的理論 基礎(chǔ)。 第一章　　　隨機事件與概率 §1 隨機事件與事件的運算： 一. 隨機試驗: 概率論是一門研究隨機現(xiàn)象量的規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科．為了研究隨機現(xiàn)象，就要對客觀 事物進(jìn)行觀察和試驗，我們把這種觀察和試驗統(tǒng)稱為試驗．概率論中所研究的試驗具有 下列特點： (1) 可以在相同的條件可重復(fù)進(jìn)行。 (2) 試驗的可能結(jié)果不止一個，并且在試驗前能明確可知所有可能的結(jié)果。 (3) 試驗前無法預(yù)知哪一個結(jié)果出現(xiàn)。 我們把具有上述特點的試驗稱為隨機試驗．在重復(fù)進(jìn)行試驗時個別結(jié)果發(fā)生與否具有偶 然性，但當(dāng)重復(fù)試驗次數(shù)相當(dāng)大時，總有某種規(guī)律性出現(xiàn)． 例如： 拋—枚均勻硬幣，觀察其出現(xiàn)正反面朝上情況，一次試驗就是拋一枚硬幣，這是隨機試驗 ， 試驗的可能結(jié)果有兩個： 出現(xiàn)正面、出現(xiàn)反面． 在試驗前無法斷言哪個結(jié)果出現(xiàn)，但重復(fù)多次后，“出現(xiàn)正面”這個結(jié)果的相對頻率卻呈 現(xiàn)出穩(wěn)定性(即接近0．5)，這便是規(guī)律． 二．隨機事件： １．隨機事件的粗略定義：在隨機試驗中可能發(fā)生的結(jié)果或可能不發(fā)生結(jié)果稱為隨機事 件，簡稱為事件，常用字Ａ、Ｂ、[pic]表示． 1. 　【例１】拋—枚均勻硬幣，“正面朝上”這個事件（記作Ａ）是一個隨機事件　 ，簡寫為 Ａ＝“正面朝上”， 　　　　　　　　　　　　　　?。?同樣地，有　　　?。拢?“正面朝下”． ２．常用與最基本事件： （１）基本事件與復(fù)合事件： 在一隨機試驗中，它的每一個最簡單不能再分解的結(jié)果稱為基本隨機事件，簡稱基 本事件。例如：擲一枚骰子這一試驗，出現(xiàn) 　　　　　“１點”， “２點”，“３點”，“４點”，“５點”，“６點”， 都是基本隨機事件，可分別用 　　　　　　　[pic][pic]＝“[pic]點”　[pic] 表示． 在一個試驗中，由兩個或兩個以上基本事件復(fù)合而成，稱它為復(fù)合隨機事件。簡稱復(fù)合 事件． 例如：擲一枚骰子這一試驗，出現(xiàn)偶數(shù)點是一復(fù)合事件，它是由出現(xiàn) “２點”，“４點”， “６點”， 三個基本事件，而且當(dāng)且僅當(dāng)上述三個基本隨機事件中的一個發(fā)生，出現(xiàn)偶數(shù)點這一復(fù) 合隨機事件發(fā)生，可用[pic]表示． （２）必然事件：在一定條件下必然會發(fā)生的事情稱之為必然事件，記為[pic]． （３）不可能事件：在一定條件下必定不會發(fā)生的事情稱為不可能事件，記為[pic]． 【注意】◆　隨機事件、必然事件、不可能事件都是相對一定試驗條件而言，例如：擲一 枚骰子這一試驗，出現(xiàn)“７點”是不可能事件，但如果試驗條件改為擲兩枚骰子 就不是不可能事件． 　　　　◆　為討論方便，必然事件、不可能事件都視為隨機事件，作為極端情況． 三．樣本點與樣本空間： 為研究方便起見，事件之間的關(guān)系及運算利用集合工具是有益的． 1. 樣本點：隨機試驗的每一個可能結(jié)果稱為一個樣本點，記為[pic]． 2. 樣本空間：由所有樣本點組成的集合稱為樣本空間或稱為基本事件空間，記為 [pic]．　　 樣本空間也就是必然事件，這是因為在每次試驗必然出現(xiàn)[pic]中的某個基本事件，也 即必然發(fā)生，因此，仍用[pic]表，而任何一個隨機事件Ａ都是樣本空間[pic]的一個 子集. 【例２】 在【例１】中，令[pic][pic]＝“正面朝上”，　[pic]＝“正面朝下”，　則有 　　　　　　　　　　[pic] ＝[pic][pic][pic]，　[pic][pic]; 又若 令 0=“正面朝上”， 1=“正面朝下”， 則有 [pic] ＝[pic]0，　1[pic] 【例３】 從標(biāo)號為1，2，…，10的十個完全相同的球中任取一個， 　　　　令　[pic][pic]＝“取得[pic]號球　”　[pic]，則樣本空間 　　　[pic] ＝[pic][pic][pic]，[pic]， [pic] [pic] 　【例４】擲兩枚骰子，其樣本空間 [pic][pic]，　共有３６個樣本點． 5. 你的一個同學(xué)約定在某天晚上7點到８點之間來你家作客。 令　[pic][pic]＝“來到你家的時間”，則 　　　　　　[pic] ＝[pic] 四．事件的關(guān)系和運算 1. 事件的包含和相等： 設(shè)有事件Ａ及Ｂ，如果Ａ發(fā)生，那么B必發(fā)生， 則稱事件Ｂ包含事件A，記為 　　　　　　　　?。羀pic]Ｂ　或?。耓pic]Ａ, 　如果事件Ａ包含事件Ｂ，同時事件Ｂ也包含事件Ａ　則稱事件Ａ與Ｂ相等，記為 Ａ＝Ｂ 特別地，　　對任一個事件[pic]，有　[pic]　．　　　 ２ 事件的和（并）：兩事件Ａ與Ｂ中至少發(fā)生一個，這一事件稱為事件Ａ與事件B的和或并 ，記作 　　　　　　　　　[pic]Ａ＋Ｂ　　或?。羀pic]Ｂ　　 類似地，可定義n個事件及可列無限個事件的和。若幾個事件[pic]中至少有一個發(fā)生 ，則稱這一事件[pic]為的和或并，記為 　　　　[pic][pic] 　　或　　[pic] 若可列無限個事件[pic]，…　中至少有一個發(fā)生，則稱這一事件為[pic]，…　的和或 并，記為 　　　　　[pic][pic] 　　或　　[pic] ３．事件的積(交) 兩事件A與B同時發(fā)生，稱這—事件為事件A與事件B的積或交，記為 　　　?。羀pic]Ｂ　或　ＡＢ 類似地，可定義n個事件及可列無限個事件的積。 ４. 事件的差: 事件4發(fā)生而事件B不發(fā)生，這一事件稱為事件A與事件B的差， 記為 A [pic] B 　　　　　　　　　　　　　　　　　 特別地，　　對任一個事件[pic]，有　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　[pic]，　[pic]，　　[pic]　 ５. 不相容(互斥) 事件: 若兩事件A與B不能同時發(fā)生， 則稱事件A與事件B是互不相容的或互斥的, 記為 A[pic]B=[pic] 或 AB=[pic] 類似地，若n個事件[pic]，任意兩個事件是互不相容的，即　滿足 　當(dāng)[pic]時，[pic]　[pic] 則稱這n個事件是互不相容的或這n個事件是兩兩互不相容的。 ----------------------- [pic][pic]
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