輕松學統(tǒng)計（3）
輕松學統(tǒng)計（3） 作者：張忠樸 [pic] 1.學以致用 　　第三次上課的進度是『統(tǒng)計的推定』，以前作菜鳥老師時，一上課一定 先正經(jīng)八百的在黑板上先寫下這五個字，這是什么東東？學生暗自滴咕，這 一滴咕教室的氣氛馬上涼了一半，等到學生們的學習熱情被澆熄之后，才再 來冷灶熱燒，那就累了。 　　教書教久了，才體會到一上課最好先把場子炒熱，這樣教到主題才會事 半功倍，所以先丟個可以暖場的問題給他們。 『你們知不知道在美國統(tǒng)計專家密度最高的城市是那一個？』 ???!!!大家既有興趣卻又茫然。 『猜猜看嘛！』試著再鼓勵他們 『老師，可不可以給一點提示？』又開始討價還價了。 『好，那個城市在沙漠之中，雖然不大但國際馳名』 『是不是拉斯維加斯？』馬上有人興奮搶答。 『答對了，但是為什么那個鳥不生蛋的地方會吸引一票統(tǒng)計專家呢？』 『是不是和賭有關？』 『對！但是賭和統(tǒng)計有什么關系呢？』 『如果能設計一種游戲讓大家都認為自己很容易贏，那就會吸引一票傻蛋。 』 『沒錯，那些在賭城的統(tǒng)計專家，其實就是專門幫賭場設計那些表面看起來 吸引力十足，但事實上莊家最后必贏的游戲，由此可見統(tǒng)計并不只是艱深的 理論，它更可以應用在生活之中，所以今天就讓我們來想一想如何將統(tǒng)計用 在工廠之中好嗎？』 『好！』大家都顯得興奮莫名，這十足表現(xiàn)了中國人見賭心喜的本性。 『那你們認為在工廠中會賭那些事呢？』 『賭“席芭啦”！』這個回答馬上引起全班哄堂大笑。 『賭“席芭啦”，你瘋啦！工廠不但不感激你還會開除你，如果你不想被開除 那么還是趁早賭點正經(jīng)的。』 再逼著剛才那位搗蛋鬼把聰明用上正途，他把手上的原子筆當作竹蜻蜒轉(zhuǎn)了 兩圈之后，若有所悟── 『在生管單位決定發(fā)料數(shù)量時，他們是不是會先賭一下這批產(chǎn)品的良品率？ 』 『沒錯，這是正經(jīng)賭法之一，但是統(tǒng)計還有沒有其它的用途呢？』同學又陷 入了沈思，沉思后有人靈光一閃── 『老師，會不會有的公司要賭一下產(chǎn)品出廠后的平均使用壽命，以免將來客 戶抱怨連連？』 『太棒了，這件事不但要賭，而且還要算的非常精確，不然很可能就會大禍 臨頭，歸納剛才兩位同學的想法，我們可以發(fā)現(xiàn)一個共同點，那就是他們都 在想一個如何用統(tǒng)計來作預測的問題，這種用統(tǒng)計來作預測的問題，術語就 叫做“推定”(Estimation)』。 2.未卜先知 　　『在統(tǒng)計應用上，推定占了一席非常重要的地位，尤其像在訂貨生產(chǎn)的 公司，如果生管無法推定出報廢率來作發(fā)料寬放的依據(jù)，那么不是會造成無 效良品的麻煩，就是會搞出數(shù)量不足延誤出貨的飛機，前者會造成資金的浪 費，后者會引起客戶的抱怨，都很糟糕的事，為了不要將來倒霉，所以讓我 們現(xiàn)在就來學推定好不好？』 『好！』學生的眼睛慢慢亮了起來，但是我卻反而不想馬上讓他們?nèi)缭敢詢?，因為Easy Coming， Easy Go本來就是教學大忌。所以決定先拿一個問題來釣他們── 『請問推定和憑空瞎猜有什么不同？』 『憑空瞎猜可以毫無根據(jù)，但是推定可能需要嚴謹一點』 『請問您說嚴謹是什么意思？』 『就是說推定的值要先有一些根據(jù)』 『你的意思是不是說，被推定的未知狀況必須要先根據(jù)一些看得見的己知結 果而來？』 『對！我就是這種想法』 『好極了，剛才這位同學的想法其實就是推定的起點，任何推定都必須先根 據(jù)一些樣本的數(shù)據(jù)來作推衍的基礎，我們不妨先來看一個例子』 |某公司希望能預測其產(chǎn)品厚度之范圍，試問應如何下手？及考慮那些因 | |素？ | |　　假設已量測25個成品，其厚度分別為（單位：mm）： | |53　 48　54　51　48 | |52　46　50　51　49 | |47　55　52　53　47 | |51　50　50　48　52 | |50　48　52　49　47 | | | |參考此數(shù)據(jù)在若95%的把握下，請問該公司成品平均厚度在何范圍內(nèi)？ | 『現(xiàn)在我們有了25組數(shù)據(jù)，那么請問下一步我們該怎么辦？』 『計算』他們已很清楚的了解統(tǒng)計就是數(shù)據(jù)透過計算產(chǎn)生出有意的情報。 『沒錯，此例經(jīng)過計算之后我們得到[pic]= 50.12 σ= 2.403 接下來下一步該怎么辨呢？』 『老師，下一步是不是就要回答95%的產(chǎn)品厚度范圍有多寬了？』 『沒錯，但是這該如何推測』 『老師，如果您能夠告訴我們95%的產(chǎn)品被含蓋在幾個σ之內(nèi)，我們就可以推 測出它的范圍』 利害！利害！這個學生不但學會了用反問法來脫身這一招，而且反問的還是 一個命中要害的問題，但是老姜當然自有辣法，所以仍要四兩撥千金一下─ ─ 『這位同學的想法的確很高明，他的想法是機率和多少個σ之間一定會有關 系，而且彼此一定可以換算，這個想法其實就是常態(tài)分配機率論的基礎，因 此現(xiàn)在讓我們來看一下常態(tài)分配機率表(如附表一)，這個表的縱軸是到小數(shù) 點第一位的σ個數(shù)值，橫軸則是小數(shù)點第二位的σ個數(shù)值，而表內(nèi)的數(shù)字就是 圖中斜線區(qū)的機率，現(xiàn)在請大家一起來想一想95%的產(chǎn)品應含蓋在多少個σ之 內(nèi)？』 同學們紛紛努力思索，個個都想拔頭籌，結果居然還是剛才反問我的學生找 到了答案。 『老師，是1.96個σ』他與奮的大叫。 『沒錯，但是您是如何找到的呢？』 『老師，我先算出斜線的機率是2.5%也就是0.025，然后我就查表.......』 『等一下』我先打斷他的話，『能不能請你先說明一下0.025的來龍去脈？ 』 『老師，因為這個題目要預測的范圍95%，而斜線區(qū)正代表此范圍之外的機 率，因此兩邊斜線區(qū)加起來的機率應該是5%(100% - 95%)，而如果我們假設左右斜線區(qū)各占一半，那么單一斜線區(qū)的機率，就是 2.5%也就是0.025』 『很好，然后呢？』 『然后我就先在常態(tài)分配機率表中找到0.025這個數(shù)字。從這個數(shù)字往左看 對應的縱軸數(shù)字是1.9，而往上對應的橫軸數(shù)字是6.0，參考老師剛才的說明 ，我就得到了1.96個σ的答案?！?　　他一面說明，其它的同學紛紛點頭，看到這種感人的場景，我不禁明白 其實在學習中導引學生領悟，反而比口沫橫飛的填鴨法還更有效呢！ 　　看到學生都若有所悟，這時該給他們更大的成就感，『既然，大家都已 明白95%的產(chǎn)品是被含蓋在±1.96個σ之內(nèi)，所以我們現(xiàn)在可以更確實地回答 原來的問題了嗎？』 『老師，95%產(chǎn)品的平均厚度會落在 50.12 ±1.96x2.403 之間』大家?guī)缀跏钱惪谕暤鼗卮鹆诉@個在15分鐘之前還摸不著頭緒的問題 ，這真是學習的一大興趣。 3.康莊大道 　　用實例可以幫助我們走過前人推理的思維過程，但是實例仍然有它的限 制性，因此若要能舉一反三觸類旁通，那就必須在大家明白實例之后，再將 其中的精華從表象中抽離出來(這就所謂的抽象)，成為一種可以反復運用的 模型，因此，必須利用學生破解例子后興高彩烈的時刻，順便將他們帶入推 定的理論模型。 『同學們，你們希望將來無論遇到任何統(tǒng)計推定的問題時都能迎刃而解嗎？ 』 『希望』興奮的響應。 『那我們來重新整理一下剛才的過程好嗎？』 『好！』 『請回想一下，剛才這個過程和我們的第一節(jié)統(tǒng)計課有什么關系？』 『老師，整個討論好象還是延著I→P→O 的過程在進行嘛！』一位平常蠻沈默的同學倒先發(fā)言了。 『好極了，這是正確的觀察，于是又在黑板上畫出了。 I→P→O程序圖，只是比以前又多加上三個空的框框 [pic] [pic] 然后，反身問同學 『你們猜老師剛才多加的框框內(nèi)該填什么？』 『老師，答對了有沒有獎品？』教室氣氛一好，同學居然會開始撒嬌了。 『跟我來這套！當然有獎品?。〈饘Φ?，下課時，可以先來擦黑板?！煌锣?回去，反而逗得全班同學大樂。 『請問您還要不要先搶答？』 『老師，如果擦黑板是獎品，那擦黑板也沒有關系，我猜第一個框框內(nèi)應該 填“樣本值”也就是剛才那個例子中的25個樣本的厚度值?！?『答對了，請大家給這位自告奮勇擦黑板的同學掌聲鼓勵好不好？』熱烈的 掌聲讓那位同學好不得意。 『那么第二個框框內(nèi)該填什么呢？』 馬上有同學舉手，我故意逗他『你也想來擦黑板?。俊凰俸偕敌?，真是老 實的可愛，于是幫他解圍── 『好，那請你先告訴大家你認為第二個框框內(nèi)該填什么？』 『該填統(tǒng)計量就是[pic]和σ』連回答都很老實。 『又答對了！』這時同學的掌聲己自動響起，真是一群會互相鼓勵的學生。 『那第三個框框該填什么呢？』這個問題似乎讓有些同學很為難，看到他們 痛苦的表情，不免又大動側(cè)隱之心，于是說：『老師也想擦黑板，所以最后 一個框框可不可以由老師替大家來回答？』 『老師，沒有關系，你替我答，我替你擦黑板』一位同學馬上很阿莎力的響 應。 『好，那我們一言為定，第三個框框請?zhí)睢巴贫ńY論”也可直接寫成“95%的產(chǎn) 品厚度在[pic]±1.96σ的范圍內(nèi)”』順便我又在黑板的另一邊寫下“推定的步 驟”五個大字，然后轉(zhuǎn)身告訴同學── 『剛才三個框框的推理過程其實就是統(tǒng)計推定的步驟。』 然后我轉(zhuǎn)身在黑板上寫上： 步驟1. 隨機抽取樣本 步驟2. 計算統(tǒng)計量([pic]，σ) 步驟3. 作出推定結論，下結論時可再細分成兩步驟 步驟3A.決定信賴水準(Level of Confidence ,此例為95%) 步驟3B.決定信賴區(qū)間(Confidence interval ,此例即為[pic]±1.96σ) 『請各位記得這幾個步驟，那么將來無論你們遇到什么推定的問題都可以很 容易地迎刃而解了』 『由于各位上課很認真尤其又肯熱烈參與討論，所以我再送各位一套錦囊， 好不好？』 『老師，那我也替你來擦黑板』嚴肅的班長居然也學會幽默了，這下非傾囊 相授不可，打開投影機，影幕上出現(xiàn)了── |常用信賴區(qū)間與σ個數(shù)對照表 | | 信賴水準 　 含蓋σ個數(shù) 　　 信賴區(qū)間 | | | |　　　　　　　　　　90%　　　　　　1.645　　　　　　[pic]±1.645| |σ | |　　　　　　　　　　95%　　　　　　1.96　　　　　　 [pic]±1.96| |σ | |　　　　　　　　　　99%　　　　　　2.575　　　　　　[pic]±2.575| |σ | |　　　　　　　　　　99.73%　　　　 3　　　　　　　 [pic]±3 | |σ | 『這張表其實就是從剛才的常態(tài)分配機率表上整理出來的，如果將來各位碰 上一些特殊的信賴水準，只要回去查表也一定會得到答案的?！?4.精益求精 　　雖然下課時間快到了，但是看著他們眼眸中的熱情，我就舍不得不再多 教他們一點，使他們能真正成為善用推定的高手。 『同學們，統(tǒng)計的推定好不好玩??？』 『粉好玩！』居然有人學董月花。 『粉好玩的事有時候反而粉危險，其中最大的危險就是說不定您的推定會" 貢姑"，換句話說實際結果與您的推定可能會有很大的出入，請各位想想看 ，為什么會出現(xiàn)這種狀況？』 『老師，會不會是樣本有問題？』 『你認為樣本可能會出現(xiàn)什么問題？』 『會不會所謂的樣本其實不太具有代表性？』 『能不能舉例說明？』 『譬如樣本是工程師在實驗室作出來的，而將來實際大量生產(chǎn)的產(chǎn)品卻是由 生產(chǎn)線上的作業(yè)員生產(chǎn)的，這兩者之間有許多不同，不知道這是不是就會造 成推定"貢姑"？』 『太好了，這位同學的想法正是推定步驟1在樣本抽取上的大忌，像剛才他 舉的例子，如果我們要推定一般的量產(chǎn)能力，結果卻選取了工程師的特制產(chǎn) 品來作樣本，這種樣本就叫做偏差樣本（Biased Sample），用已有偏差的樣本來作推定，那當然會繆以千里了』 『老師，那我們該怎么辦？』 『最具體可行的辦法，就是隨機抽樣（Random Sampling），換言之，以剛才的例子我們其實應該讓生產(chǎn)線的所有在制品都 有相同被抽中的機會，這樣抽出的樣本就可稱為不偏樣本（Unbiased Sample），從不偏樣本得到的推論才會具有代表性，這就是統(tǒng)計學家為何一 再強調(diào)必須隨機抽樣（Random Sampling）的原因了?！?當大多數(shù)同學正陶醉在若有所悟時，卻有一位同學狡黠地問了另一個問題─ ─ 『老師，偏差樣本是推定中唯一的陷阱嗎？』 『那你認為呢？』反將他一軍。 『我猜應該還有別的?！?『別的又會是什么呢？』再用一次不僨不啟的老招。 『剛才老師提到的第一個陷阱是有關樣本品質(zhì)（Quality）的問題，...
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