連續(xù)型隨機(jī)變量2-3
§3 連續(xù)型隨機(jī)變量 除了離散型隨機(jī)變量之外，還有非離散型的隨機(jī)變量，這些隨機(jī)變量的取值已不再是有 限個(gè)或可列個(gè)。在這類非離散型隨機(jī)變量中，有一類常見而重要的類型，即所謂連續(xù)型 隨機(jī)變量。粗略地說，連續(xù)型隨機(jī)變量可以在某特定區(qū)間內(nèi)任何一點(diǎn)取值。例如某種樹 的高度；測量的誤差；計(jì)算機(jī)的使用壽命等等都是連續(xù)型隨機(jī)變量。對于連續(xù)型隨機(jī)變 量，不能一一列出它可能取值，因此不能像對離散型隨機(jī)變量那樣用它取各個(gè)可能值的 概率來描述它的概率分布，而是要考慮該隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間上取值的概率，我們是用 概率密度函數(shù)來研究連續(xù)型隨機(jī)變量的。 1. 概率密度和連續(xù)型隨機(jī)變量定義： 對于隨機(jī)變量[pic]，如果存在非負(fù)可積函數(shù)[pic]，使得對于任意實(shí)數(shù)，[pic] [pic]都有 [pic]， 則稱[pic]為連續(xù)型隨機(jī)變量；稱[pic]為[pic]的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度． 由定義可知，分布密度[pic]具有如下基本性質(zhì): 　　?。ǎ保甗pic]； ?。ǎ玻甗pic]． 這兩條性質(zhì)的幾何意義是：概率分布密度曲線不在x軸下方，且該曲線與x軸所圍的圖 形面積為1。性質(zhì)(1)、(2)可以作為判定一個(gè)函數(shù)是否可以作為一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量 的分布密度的條件。 對于連續(xù)型隨機(jī)變量[pic]可以證明，它在某一點(diǎn)[pic]處取值的概率為零，即 對于任意實(shí)數(shù)[pic]，有[pic]． 即研究[pic]在某一點(diǎn)處取值的概率是沒有什么實(shí)際意義的。從而可知，研究[pic]在 某區(qū)間上取值的概率時(shí)，該區(qū)間含不含端點(diǎn)，不影響概率值。即 (３)．對于任意實(shí)數(shù)，[pic] [pic]都有 [pic] 1. 設(shè)[pic]是連續(xù)型隨機(jī)變量，已知[pic]的概率密度為 [pic] 其中[pic]為正常數(shù)． 試 確定常數(shù)[pic]． 解： 由概率密度函數(shù)性質(zhì)，知 [pic] [pic] 二．幾個(gè)常用的一維連續(xù)型隨機(jī)變量： 1. 均勻分布：如果連續(xù)型隨機(jī)變量[pic]的概率密度為 　　　　[pic]　 [pic] 記作[pic]． [pic] 因此上述定義中的概率密度可以改為 [pic] 其中[pic]為一常數(shù)，利用概率密度的性質(zhì)，易得 [pic] 2. 指數(shù)分布: 　　[pic]　 則稱[pic]服從指數(shù)分布（參數(shù)為[pic]），記為　[pic] 若[pic]服從參數(shù)為[pic]的指數(shù)分布，則對任意[pic]，　有 [pic] 如燈泡、電子元件的壽命，電話的通話時(shí)間等都被認(rèn)為是 服從指數(shù)分布的。 3. 正態(tài)分布:　 1. 定義：如果連續(xù)型隨機(jī)變量[pic]的概率密度為 　　　　　[pic] [pic] 可以證明： [pic] [pic] =1 2. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：當(dāng)參數(shù)[pic]＝0　　而[pic]　時(shí)，即[pic]， 稱[pic]服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記　標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度為[pic]，則 　　　　　　　　[pic]　 　 正態(tài)分布是概率統(tǒng)計(jì)中最重要的一種分布。一方面，正態(tài)分布是實(shí)踐中最常見的一 種分布，例如測量的誤差，人的身高、體重，農(nóng)作物的收獲量，大批學(xué)生的考試成 績等等，都近似服從正態(tài)分布。一般說來，若某一數(shù)量指標(biāo)受到很多相互獨(dú)立的隨 機(jī)因素的影響，而每個(gè)因素所起的作用都很微小，則這個(gè)數(shù)量指標(biāo)近似服從正態(tài)分 布。另一方面，正態(tài)分布具有許多良好的性質(zhì)，許多分布在一定條件下可以用正態(tài) 分布來近似，因此在概率數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論和實(shí)際應(yīng)用中，正態(tài)分布都有著十分重要 的地位。 3. 性質(zhì)： (a) 在直角坐標(biāo)系內(nèi)[pic]的圖形呈鐘形; (b) 在[pic]處得最大值　　　　　　　　　　　 　　　　(c) 關(guān)于直線[pic]對稱；在[pic]處有拐點(diǎn)； (d) 如果[pic]固定，改變[pic]的值，則[pic]的圖形沿x軸平行移動(dòng)，而不改變其形狀，可 見[pic]形狀完全由[pic]決定，而位置完全由[pic]來決定．當(dāng)[pic]時(shí)，曲線以x軸為漸 近線; 當(dāng)[pic]大時(shí)，曲線平緩, 當(dāng)[pic]小時(shí)，曲線陡峭． [pic] 　?。ǎ矗?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布[pic]的隨機(jī)變量[pic]落在區(qū)間[pic]中的概率： 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度[pic]，記　[pic]，當(dāng)[pic]， 其函數(shù)值可查本書的附表１， [pic] [pic][pic]， 　　其中 　　　（?。pic]；　[pic]　[pic]． （ⅱ）[pic]：可直接查本書的附表１，得 　　　　　　　　◆[pic]　　　 （ⅲ）[pic]：　◆[pic]； ◆[pic]； 　　　　　　　　◆[pic] ◆[pic] 　　　　　　　　　　　　　　　[pic]； 　　　　　　　　◆[pic]． 【例２】設(shè)[pic]，則 [pic] [pic] [pic] [pic] （５）一般正態(tài)分布[pic]的隨機(jī)變量[pic]落在區(qū)間[pic]中的概率： 只要搞清楚一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系，即可利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布求得 一般正態(tài)分布[pic]的隨機(jī)變量[pic]落在區(qū)間[pic]中的概率．具體地， 設(shè)　　[pic]，則 　　　[pic] 令　[pic]　則有 　　　　　　[pic]， 　　　轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，查本書的附表１，就可得這概率． 特別地， 　　　　[pic]；　　　 　　　　[pic]； 　　　　[pic]， 由上面三式可見，服從正態(tài)分布[pic]的隨機(jī)變量[pic]之值基本上落在 區(qū)間[pic]內(nèi)， 而幾乎不在區(qū)間[pic]外取值． 【例３】[pic]，　求[pic] 解：　[pic] 　　[pic] 三．例題： 【例4】 對以下各題隨機(jī)變量所對應(yīng)的概率分布，試確定常數(shù)a. [pic] [pic] [pic] [pic] 【例5】 [pic] [pic] 【例6】設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 [pic] [pic] 【例設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布面數(shù)為 [pic] [pic] 【例7】 則 [pic]， [pic] 四．習(xí)題： P．68　―――?。保玻?，５，１５
連續(xù)型隨機(jī)變量2-3