靈敏度分析

第五章、靈敏度分析 一、  什么是靈敏度分析
我們前面討論的線性規(guī)劃問題，其目標(biāo)函數(shù)系數(shù)，約束系數(shù)和約束常數(shù)都是確定的常數(shù)，但實(shí)際問題中，由于各種因素的影響，這些常數(shù)是有變化的。例如產(chǎn)品的需求量、產(chǎn)品的售價(jià)、原材料和能源的價(jià)格以及資源 的供應(yīng)量等的變動(dòng)，從而引起 和 的值的變化，工藝條件的改變， 的值就發(fā)生變化。
于是，我們面臨這樣的問題：當(dāng)線性規(guī)劃問題的某些常數(shù)發(fā)生變化時(shí)，對(duì)已求出的最有解有什么影響？顯然，當(dāng)線性規(guī)劃問題的一個(gè)或幾個(gè)常數(shù)發(fā)生變化以后，原來已求得的結(jié)果一般會(huì)發(fā)生變化。當(dāng)然，可以用單純形法從頭計(jì)算，以便得到新的解。這樣做很麻煩，而且也沒有必要，因在單純形表迭代中，每次都和基變量的系數(shù)矩陣B有關(guān)，因此，可以把發(fā)生變化的個(gè)別系數(shù)，經(jīng)過一定的計(jì)算直接填入最終表中，并進(jìn)行檢查和分析----靈敏度分析。
所謂靈敏度分析: 就是在建立數(shù)學(xué)模型和求得最優(yōu)解之后，研究線性規(guī)劃的一些系數(shù)變化時(shí)，對(duì)最優(yōu)解產(chǎn)生或最優(yōu)基有什么影響？或者這些系數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，最優(yōu)解或最有基不變。有了靈敏度分析就不必要為了應(yīng)付這些變化而不停的建立新的模型和求解。
用靈敏度分析以下幾種情況
一、目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)發(fā)生了變化，對(duì)最優(yōu)解會(huì)產(chǎn)生什么影響
二、約束條件右邊的值發(fā)生了變化，對(duì)最優(yōu)解會(huì)產(chǎn)生什么影響
三、增加了新變量，對(duì)最優(yōu)解會(huì)產(chǎn)生什么影響
四、用QM軟件如何分析

二、目標(biāo)函數(shù)中價(jià)值系數(shù) 的變化分析 技術(shù)方法：用單純形法分析 用圖解法分析
可以分別就對(duì)應(yīng)的基變量和非基變量來討論。
若是非基變量的系數(shù)

是基變量的系數(shù)









對(duì)于兩個(gè)變量的線性規(guī)劃問題的靈敏度分析，我們還可以用圖解法進(jìn)行 例題2 某工廠在計(jì)劃期內(nèi)要安排生產(chǎn)Ⅰ、Ⅱ兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需要的設(shè)備臺(tái)時(shí)和A、B兩種原材料的消耗以及資源的限制情況，如表1-1所示：

問工廠應(yīng)分別生產(chǎn)多少個(gè)Ⅰ產(chǎn)品和Ⅱ產(chǎn)品才能使工廠獲利最大？ 為了解決這個(gè)實(shí)際問題，我們把它歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題來研究。 我們就得到了描述該問題的一組數(shù)學(xué)表達(dá)式：

我們知道生產(chǎn)一個(gè)單位的Ⅰ產(chǎn)品可以獲利50元，生產(chǎn)一個(gè)單位的Ⅱ產(chǎn)品可以獲利100元，在目前的生產(chǎn)條件下已求得生產(chǎn)Ⅰ產(chǎn)品50單位，生產(chǎn)Ⅱ產(chǎn)品250單位可以獲得最大利潤。假設(shè)兩種產(chǎn)品中的某一產(chǎn)品的單位利潤增加或減少時(shí)，我們意識(shí)到為了獲取最大利潤就有可能應(yīng)該增加或減少這一產(chǎn)品的產(chǎn)量，也就是改變最優(yōu)解。但是實(shí)際上這一產(chǎn)品利潤在一定范圍內(nèi)變化時(shí)整個(gè)線性規(guī)劃的最優(yōu)解其實(shí)是不會(huì)變化的，即仍然生產(chǎn)50單位的Ⅰ產(chǎn)品和250單位的Ⅱ產(chǎn)品而獲利最大。當(dāng)然其中某一產(chǎn)品利潤變化超出一定范圍的話，最優(yōu)解就會(huì)受到影響了。我們的任務(wù)就是用簡單的圖解法揭示這一變化的范圍，定出其上限和下限。

從圖1-1中可以看出只要目標(biāo)函數(shù)的斜率在直線E（設(shè)備約束條件）的斜率與直線F（原料B的約束條件）的斜率之間變化時(shí)，頂點(diǎn)B仍然是最優(yōu)解。 如果目標(biāo)函數(shù)直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的斜率等于直線F的斜率時(shí)，則可知直線AB上的任一點(diǎn)都是其最優(yōu)解。如果繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則可知A點(diǎn)為其最優(yōu)解。
如果目標(biāo)函數(shù)直線順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的斜率等于直線E的斜率時(shí)，則可知直線BC上的任一點(diǎn)都是其最優(yōu)解。如果繼續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的斜率在直線E的斜率和直線G的斜率之間，則頂點(diǎn)C為最優(yōu)解。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的斜率等于直線G的斜率時(shí)，則直線CD上的任一點(diǎn)都是其最優(yōu)解，如果在繼續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可知頂點(diǎn)D為其最優(yōu)解。



問題： 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)中的一個(gè)改變時(shí)，要保持最優(yōu)解不變，如何求出其范圍
三、常數(shù)項(xiàng)（資源數(shù)量） 變化的分析





四、添加新變量的分析 仍然依例1來分析添加新變量的情況
現(xiàn)在又試制成一種新產(chǎn)品E，生產(chǎn)1噸分別消耗原料甲、乙為2和1/2噸，問他每噸的利潤是多少時(shí)才能投產(chǎn)？ 在上例中引進(jìn)新變量 變?yōu)椋?

對(duì)于上式B仍是可行基，且有 要使B是上式的最優(yōu)基，只需。

經(jīng)濟(jì)上如何解釋

五、 1、如何使用QM軟件進(jìn)行靈敏度分析。 2、經(jīng)濟(jì)意義是什么

六、實(shí)際舉例 用QM軟件求解和分析

謝謝

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