模煳效用約束下的消費(fèi)者支出最小化
模糊效用約束下的消費(fèi)者支出最小化 趙明清( (山東科技大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，271019) 摘要 本文利用模糊優(yōu)化方法，討論了消費(fèi)者的效用約束為模糊約束的條件下，如何確定 各種商品購買量以使其支出達(dá)到最小的問題。 關(guān)健詞 模糊規(guī)劃，效用函數(shù)，隸屬函數(shù)，消費(fèi)者均衡 1 引言 文[1]討論了消費(fèi)者在收入約束為模糊約束的條件下，如何確定各種商品的購買量以使其 效用達(dá)到最大的問題。本文討論的是該問題的對偶問題，即討論消費(fèi)者在效用約束為模 糊約束的條件下，如何確定各種商品的購買量以使其支出達(dá)到最小的問題。效用約束的 模糊化，使消費(fèi)者行為分析更加接近實(shí)際。目前，尚無人對此問題進(jìn)行討論。 2 模型的建立與分析 為了討論方便，設(shè)消費(fèi)者僅購買兩種商品，這兩種商品的價格分別為[pic]，購買數(shù)量分 別為[pic]；效用函數(shù)[pic]連續(xù)二次可微且嚴(yán)格凹。那么，模糊效用約束下消費(fèi)者支出 最小化問題可用模糊規(guī)劃 (Ⅰ) [pic] 來描述。其中：I表示消費(fèi)者支出；[pic]表示消費(fèi)者的效用最好不要低于給定的效用U 。 根據(jù)假設(shè)，[pic]分別在約束[pic]（l是伸縮指標(biāo)，[pic]是效用下限）和[pic]=U下 的最小值都存在，不妨分別設(shè)為[pic]。 對于模糊約束[pic]構(gòu)造模糊約束集[pic]，其隸屬函數(shù) [pic] 對于目標(biāo)函數(shù)[pic]構(gòu)造模糊目標(biāo)集[pic]，其隸屬函數(shù) [pic] 為了兼顧[pic],采用模糊判決[pic]，選擇[pic]，使 [pic] [pic] [pic] =[pic] 于是，模糊規(guī)劃（Ⅰ）歸結(jié)為求普通數(shù)學(xué)規(guī)劃 （Ⅱ）[pic] 即 （Ⅲ） [pic] 根據(jù)優(yōu)化理論中的Kuhn –Tucker定理，（Ⅱ）相應(yīng)的（KT）條件是 [pic] 即 [pic] 通過分析，便知 [pic] [pic] [pic] [pic] (1) [pic] (2) [pic] (3) [pic] (4) [pic] (5) 由(1)、(2)兩式，得 [pic] (6) 由(4)、(5)兩式，得 [pic] (7) (6)、(7)兩式是消費(fèi)者均衡即模糊效用約束下的消費(fèi)者支出最小化的必要條件，可以證 明該條件也是消費(fèi)者均衡的充分條件。 由(6)式，得 [pic] 令 [pic] [pic] 則E，F(xiàn) ，G關(guān)于[pic]的Jacobi行列式 [pic] =[pic] =[pic] =[pic] 其中 [pic] 為[pic]的加邊Hessin矩陣。根據(jù)對[pic]的假設(shè)，[pic]。所以 [pic] 進(jìn)而，由隱函數(shù)組存在定理，(6)、(7)確定了唯一的一組隱函數(shù) [pic] 稱[pic]為模糊需求函數(shù)。或者說，對于給定的[pic]，方程組(6)、(7)有唯一解[pic]， 相應(yīng)的消費(fèi)者最小支出[pic]隸屬度 [pic] 這也就是模糊規(guī)劃（Ⅰ）的解。 3 結(jié)論 (1) 消費(fèi)者均衡的充分要條件是 [pic] [pic] 其中第一式意味著：在模糊效用約束下，當(dāng)消費(fèi)者的消費(fèi)處于最優(yōu)狀態(tài)時，花在各種商 品上的最后一個單位貨幣支出所獲得的效用相等。 (2) 模糊效用約束下的消費(fèi)者最小支出和達(dá)到的效用都比普通效用約束下的消費(fèi)者最小支出 和達(dá)到的效用小。 (3) 利用模糊數(shù)學(xué)方法分析經(jīng)濟(jì)問題會更接近實(shí)際，但也帶來了分析上的困難。 參考文獻(xiàn) 1 趙明清. 模糊約束下的消費(fèi)者均衡. 山東礦業(yè)學(xué)院學(xué)報，1993.12（2）：197—200 2 唐林煒等編著. 模糊數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)分析. 山東大學(xué)出版社，1999.9： 141—164 3 中國人民大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編. 運(yùn)籌學(xué)通論. 中國人民大學(xué)出版社，1987.5： 190—196 The Minimization of Consumption under the Fuzzy Utility Constraint Zhao Mingqing (College of Information Science & Engineering, Shandong University of Science and Technology, 271019) Abstract By using fuzzy optimization, this paper discusses how to ensure the consumption of merchandises to minimize the expenditure if the utility constraint is a fuzzy one. Keywords Fuzzy programming Utility function Subjection function Consumption equilibrium (趙明清, 通訊地址：山東省泰安市山東科技大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院（271019）， 聯(lián)系電話：0538—6227430（H）
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